Logika Matematika

 Logika seringkali didefinisikan sebagai ilmu untuk berpikir dan menalar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). Ditinjau dari perkembangannya, logika merupakan salah satu cabang filsafat yang mempelajari aturan-aturan cara menalar yang benar. Logika membantu mengatur pemikiran kita, untuk memisahkan hal yang benar dari yang salah. Pengetahuan tentang bagaimana menggunakan logika dapat membantu kita menghindari salah penafsiran, dan meningkatkan keahlian kita dalam berpikir analitis. 

  

Belajar logika dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika: 

• Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang biasa dijumpai. 
• Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih kompleks.

Segi teoritis, belajar logika tidak hanya belajar bagaimana menalar dengan benar, melainkan juga mengenal bentuk-bentuk penarikan kesimpulan yang absah (dan bentuk lainnya yang tidak absah). Dalam melakukan penalaran atau penarikan kesimpulan, kita akan menggunakan beberapa kalimat atau pernyataan dalam prosesnya. Untuk itu, berikut ini akan dibahas tentang beberapa macam kalimat yang digunakan dalam penalaran logika.

a. Kalimat dan pernyataan

Sebelum membahas tentang pernyataan, akan kita bahas terlebih dahulu apa yang disebut kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematik hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti menerangkan (kalimat deklaratif), yang juga disebut pernyataan. Pernyataan mungkin bernilai benar saja atau bernilai salah saja. Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu, dan ditentukan oleh realitas yang dinyatakannya atau kesepakatan terdahulu. Logika yang akan kita bahas adalah logika matematik dua nilai, yaitu nilai BENAR (B) dan nilai SALAH (S).

Pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan sederhana atau pernyatan primer atau pernyataan atom. Sedangkan pernyataan yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk atau pernyataan komposit. 

Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran setiap pernyataan sederhana yang dikandungnya dan cara menghubungkan pernyataan-pernyataan sederhana itu, dan bukan oleh keterkaitan isi pernyataan-pernyataan sederhana tersebut. 

Dalam logika matematika, suatu pernyataan umumnya disimbolkan dengan huruf kecil a, b, c, . . . atau p, q, r, . . . atau kadangkala digunakan huruf besar A, B, C, . . . atau P, Q, R, . . . , sedangkan nilai benar disimbolkan ”B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.

b. Variabel, konstanta, dan parameter

Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah simbol yang menunjukkan anggota tertentu yang sudah spesifik dalam semesta pembicaraan. Sedangkan parameter adalah variabel penghubung antara beberapa variabel.

Perhatikan contoh kalimat matematika: “4 + x = 9”. Pada kalimat tersebut 4 dan 9 adalah konstanta, sedangkan x adalah variabel. Selanjutnya perhatikan contoh kalimat matematika: x = r cos t, y = r sin t, x² + y² = r². Pada contoh tersebut x dan y adalah variabel-variabel, t adalah variabel penghubung antara x dan y, dan t adalah parameter, sedangkan r adalah konstanta.

c. Kalimat terbuka dan kalimat tertutup

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum/tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Dalam matematika, kalimat terbuka bisa berbentuk persamaan (kalimat terbuka yang menggunakan tanda “=”) atau berbentuk 2 pertidaksamaan (kalimat terbuka yang menggunakan tanda ≠, < , > , <, atau > ).

Contoh:

     1)  x + 5 = 8 , kalimat terbuka yang berbentuk persamaan

2)  x² – 3 < 6, kalimat terbuka yang berbentuk pertidaksamaan

Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Dalam matematika, kalimat tertutup bisa berbentuk kesamaan (kalimat tertutup yang menggunakan tanda “=”) atau berbentuk ketidaksamaan (kalimat tertutup yang menggunakan tanda ≠, < , > , <, atau > ).

Contoh:

1) 4 + 5 = 8, kalimat tertutup yang berbentuk kesamaan, yang bernilai salah.

2) 5² + 3 > 10, kalimat tertutup yang berbentuk ketidaksamaan, yang bernilai benar

3) Surabaya ibu kota Jawa Timur, kalimat tertutup yang bernilai benar

4) Kerajaan Singosari terletak di Jawa Tengah, kalimat tertutup yang bernilai salah.

  

d. Kata hubung kalimat

Dalam logika, dikenal beberapa kata hubung kalimat untuk membentuk pernyataan majemuk yang berasal dari satu atau lebih pernyataan sederhana. Ada lima macam kata hubung kalimat dalam logika, yaitu: negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional.

1)  Negasi (Ingkaran atau penyangkalan)

Perhatikan pernyataan: “Ita adalah mahasiswa UPI ”. Bagaimana negasi/ ingkaran pernyataan tersebut? Anda dengan mudah dapat menjawab: “Ita bukan mahasiswa UPI”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka negasinya bernilai salah, dan sebaliknya.

Jadi, negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan semula benar, dan sebaliknya.

2) Konjungsi

Perhatikan pernyataan: “Fia anak yang rajin dan pandai”, maka dalam pernyataan itu berarti:

a) Ani anak yang rajin, dan

b) Ani anak yang pandai.

Pernyataan seperti “Ani anak yang rajin dan pandai” disebut pernyataan konjungsi. Jadi, jika dua buah pernyataan dihubungkan dengan “dan” adalah pernyataan majemuk yang disebut konjungsi. Kata hubung “dan” disimbolkan dengan “∧”. Konjungsi pernyataan p dan q ditulis p ∧q, dan dibaca p dan q.

3) Disjungsi

Perhatikan dua pernyataan berikut:

a) “Toni adalah mahasiswa UPI atau seorang atlit sepak bola”.

b) “Saya lahir di Bandung atau di Jakarta”.

Jika kita lihat kedua pernyataan tersebut, maka kita bisa melihat bahwa kedua pernyataan tersebut mempunyai kesamaan dan perbedaan.

Kesamaannya adalah kedua pernyataan tersebut mempunyai kata penghubung “atau” dan disebut pernyataan disjungtif.

Perbedaannya adalah pernyataan pertama terdiri dari dua pernyataan yang mungkin dua-duanya benar, sedangkan pernyataan kedua terdiri dari dua pernyataan yang tidak mungkin dua-duanya benar.

Pernyataan pertama merupakan contoh disjungsi inklusif, sedangkan pernyataan kedua merupakan contoh disjungsi eksklusif.

4) Kondisional

Perhatikan pernyataan: “Jika kamu rajin belajar, maka kamu lulus ujian”. Kalimat yang berbentuk “Jika …. maka …..” disebut kalimat kondisional atau implikasi. Pernyataan “Jika p maka q” ditulis sebagai “p→q”.

5) Konvers, Invers dan Kontraposisi

Perhatikan suatu implikasi: “Jika kamu rajin belajar maka kamu lulus ujian”. Jika pernyataan tersebut bernilai benar, bagaimana nilai kebenaran pernyataan berikut ini?

a) Jika kamu lulus ujian maka kamu rajin belajar

b) Jika kamu tidak rajin belajar maka kamu tidak lulus ujian

c) Jika kamu tidak lulus ujian maka kamu tidak rajin belajar

Bilamana implikasi “Jika kamu rajin belajar maka kamu lulus ujian” disimbolkan dalam bentuk p → q, maka kalimat 1 , 2, dan 3 di atas dapat disimbolkan menjadi:

a) q → p yang disebut konvers dari implikasi p → q. 

b) ¬p → ¬q yang disebut invers dari implikasi p → q. 

c) ¬q → ¬p yang disebut kontraposisi dari implikasi p → q. 

6) Bikondisional/Biimplikasi

Jika kita memiliki implikasi p → q bernilai benar dan q → p juga bernilai benar maka dapat dibentuk biimplikasi p ↔ q yang juga bernilai benar.

Pernyataan p ↔ q dibaca:

a)      p jika dan hanya jika q atau disingkat p jhj q 

b)     p bila dan hanya bila q atau disingkat p bhb q

c)      p syarat perlu dan cukup untuk q

d)     q syarat perlu dan cukup untuk p

e)      Jika p maka q dan jika q maka p. 

7) Kuantor

Kata “semua” atau “setiap” disebut kuantor umum atau kuantor universal dan disimbolkan dengan ∀ atau ( . ). Jadi “semua x” ditulis ∀x atau (x).

Kata “ada” atau “beberapa” disebut kuantor khusus atau kuantor eksistensial dan disimbolkan dengan ∃. Jadi “ada x” atau “beberapa x “ ditulis ∃x.

∀x dibaca untuk semua x berlakulah …….

∃x dibaca ada x sedemikian hingga ………

Perhatikan kalimat: ”x + 3 = 5” adalah suatu kalimat terbuka, atau kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Jika kita tambahkan kuantor pada kalimat tersebut diperoleh:

a) ∀x . x + 3 = 5, merupakan kalimat tertutup yang bernilai salah.

atau

b) ∃x . x + 3 = 5, merupakan kalimat tertutup yang bernilai benar.

8) Premis dan Argumen

Premis adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, dianggap benar atau disepakati kebenarannya. Premis dapat berupa: aksioma, hipotesis, definisi, dalil/teorema atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Argumen adalah kumpulan dari satu atau beberapa premis beserta kesimpulan/konklusinya yang diambil secara sahih/valid.